Tenmongaku..

Tahun 2015, tahun di mana kumulai menggeluti ilmu yang mempelajari benda-benda di luar bumi ini. Ya, Astronomi. Kuingat sekali, saat itu ada yang memperkenalkanku kepada seseorang, seorang pecinta langit.

Tak lama setelah itu, aku mulai bergabung dengan sebuah groupchat sederhana bernama Astronomy is Everything, biasa disingkat AiE. Di sini, aku mulai mengenal astronomi lebih dalam, dan berkenalan dengan para astrofilia dari beberapa daerah di Indonesia, hampir semua masih duduk di bangku sekolah menengah sampai saat ini.

Aku juga mendapatkan kesempatan menulis di sebuah halaman facebook yang cukup populer, setidaknya di AiE. Astrofisika State, namanya.

Selain AiE, aku juga bergabung dalam grup astronomi besar (dan mungkin terbesar), Astronomi Indonesia. Di sini, terdapat banyak diskusi dan pertanyaan-pertanyaan yang dilontarkan, tak sedikit pula debat kusir yang terjadi di sini.

Saat dongeng bumi datar mulai menjamur di masyarakat Indonesia, Astronomi Indonesia juga kebanjiran pertanyaan-pertanyaan tentang bumi datar, yang sudah sering dibincangkan. Grup besar Astronomi Indonesia berubah menjadi arena besar bagi setiap orang untuk berargumen, baik pakar maupun awam.

Semua grup astronomi membicarakan ini, termasuk AiE. Aku mulai muak dengan ini semua, sehingga aku memutuskan untuk keluar. Aku mulai berhenti mendalami astronomi (Tetapi masih menggeluti astrophotography).

Tawaran mengikuti Olimpiade Matematika UIN memulai kegilaanku dalam olimpiade matematika. Kelas 3 SMP, aku mencoba untuk mengejar ketertinggalanku dalam olimpiade, meninggalkan jauh-jauh astronomi, yang sebenarnya masih ada di lubuk hati terdalam.

Sekarang, aku mulai merasa tertinggal sangat jauh, apakah aku bisa mengejar yang lain? Beberapa dari mereka sudah memborong medali di Sekolah Dasar, sedangkan aku baru mulai di sini? Aku mulai merasa, jika aku mendalami astronomi dari sekarang, aku masih belum tertinggal. Tetapi tidak untuk matematika.

Dilemma antara matematika dan astronomi mungkin akan mengawali perjalanan kisah putih abu-abuku.
Apakah mimpiku terlalu tinggi?

Atau diriku yang tak menyadari kemampuanku yang sebenarnya?
Bekasi, 14 Mei 2017

3,14 atau 22/7?

Ketika kalian mendapatkan soal yang berhubungan dengan lingkaran tanpa informasi pendekatan \pi yang digunakan, atau ketika kalian dihadapkan persoalan hidup tentang sebuah lingkaran, \pi yang mana yang akan kalian pilih? 3,14 atau \frac{22}7 ? Sebelum masuk ke pembahasan itu, mari kita lihat terlebih dahulu, berapa nilai 3,14, \frac{22}7, bahkan \pi tersebut?

Mari kita lihat perbedaan ketiga bilangan tersebut…

\frac{22}7 = 3,14... \\ \pi = 3,14....

Gak ada bedanya tuh.. Memang perbedaan mereka masih belum terlihat jika kita hanya menggunakan dua angka di belakang koma. Nah, coba kita gunakan sepuluh angka di belakang koma..

3,14 = 3,1400000000 \\ \frac{22}7 =3,1428571429 \\ \pi =3,1415926536

Jelas berbeda, ‘kan?

“Tapi kata guru saya pakai {22}7 jika jari-jarinya habis dibagi 7, dan pakai 3,14 jika jari-jarinya tidak habis dibagi 7″

Menurutku, tak ada salahnya menggunakan pendeketan-pendekatan itu. Tapi agar lebih akurat, biasanya aku meninggalkan \pi tanpa menggunakan pendekatan. Lalu jika tidak ada opsi yang menyisakan \pi, aku akan memilih salah satu dari dua pendekatan \pi itu.

Kenapa gak langsung pakai pendekatan?

Terkadang, ada soal yang mengharuskan seorang anak menggunakan dua pendekatan \pi sekaligus. Jadi dia menggunakan rumus ber-\pi dua kali (dengan radius berbeda). Menurutku, cara ini mengurangi keakuratan (ini belum bisa dipastikan, belum ada bukti yang kuat).

Kenapa kita menggunakan pendekatan? Memangnya nilai \pi yang pasti itu berapa?

Nilai \pi yang pasti belum (atau bahkan tidak mungkin) ditemukan. Kenapa? Karena \pi adalah bilangan irasional, yang artinya tidak bisa ditulis dengan perbandingan dua bilangan bulat. Ini adalah gambaran untuk memudahkan dalam membedakan bilangan rasional dan irasional.

5 adalah bilangan rasional karena dapat dinyatakan dalam bentuk \frac51

0.333... adalah bilangan rasional karena dapat dinyatakan dalam bentuk \frac13

\sqrt{2} adalah bilangan irasional karena tidak dapat dinyatakan dalam bentuk \frac{a}b dengan a dan b adalah bilangan bulat.

Nasib \pi sama seperti \sqrt{2}, tidak ada pecahan (dengan pembilang dan penyebut bilangan bulat) yang bisa menyatakan mereka berdua.

Bagaimana jika dalam kehidupan sehari-hari, misalnya ingin membeli kawat untuk membuat lingkaran?

Dalam hal ini, bisa disesuaikan. Jika ingin membeli kawat untuk membuat lingkaran, kusarankan untuk menggunakan pendekatan \frac{22}7 , karena nilainya yang lebih besar dari \pi. Jika ada kawat yang tersisa, bisa dibuang (daripada kekurangan kawat).

Semoga post ini membantu, Selamat hari \pi (Tiga hari yang lalu)

Maaf telat tiga hari, maaf juga jika menyinggung hati kalian. Salam DG!

Satu dibagi Nol?!?!?

Sering terdengar percakapan di sebuah perkumpulan anak SD yang mengadakan tebak-tebakan perkalian dan pembagian. Pasti ada satu anak (biasanya paling tinggi tingkatan kelasnya) yang menanyakan dengan bangganya sebuah perkalian atau pembagian dan yang lainnya mencoba untuk menjawab walaupun belum diajarkan di kelasnya. Kadang juga terdengar perkalian suatu bilangan dengan nol. Itu sudah jelas, pasti hasilnya nol. Tapi bagaimana jika pembagian nol??

Misalkan, dia membuat pertanyaan \frac01 , dan dia sendiri menjawab nol. Apakah benar?

Untuk kasus ini benar, tapi berbeda dengan kasus \frac10. Lantas seperti apa?

Mudahnya, kita lihat dari beberapa pembagian yang kita ketahui nilai desimalnya.

\frac11 = 1\\ \frac12 = 0.5 \\ \frac14 = 0.25 \\ \frac15 = 0.2 \\ \frac1{10} = 0.1 \\ \frac 1{100} = 0.01 \\ \frac1{1000} = 0.001

Bisa kita lihat bahwa nilai \frac1x akan membesar jika nilai x mengecil. Nah ketika x mendekati  0, \frac1x mendekati \infty. Maka bisa disimpulkan \frac10 = \infty

Namun, hal berbeda terjadi jika kita menggunakan nilai negatif pada penyebutnya.Ketika penyebutnya mendekati 0, \frac1x akan terus mengecil sehingga mendekati - \infty. Maka dapat disimpulkan juga bahwa \frac10 = - \infty

Jangan anggap sepele dan langsung mengatakan “Jadi satu dibagi nol itu tak hingga”, karena positif tak hingga dam negatif tak hingga bukanlah sesuatu yang sama, bahkan saling bertentangan. Dari sini, yang dapat kita simpulkan adalah “satu dibagi nol tidak dapat didefinisikan/tidak dapat ditentukan”

Ini seperti kamu membeli sebatang coklat atau seikat bunga, lalu tidak dibagikan ke siapapun. Itu artinya kejonesan-mu tak terdefinisi..

Salam DG!

Paragraf terakhir jangan dianggap serius..

Tujuh Jembatan Königsberg

Hai! Kali ini, aku akan memberikan sebuah pertanyaan—semacam tebak-tebakan, tapi jangan ditebak—yang lumayan populer. Judulnya adalah “Tujuh Jembatan Königsberg”. Königsberg ini adalah nama kota di Kerajaan Prusia. Sekarang nama kota itu telah berubah menjadi Kaliningrad.

Königsberg dilalui oleh sebuah sungai bernama Sungai Pregel (Pregloya) sehingga kota ini terbagi menjadi dua bagian. Kita anggap dua bagian ini sebagai daratan utama. Di tengah sungai Pregel, terdapat dua pulau yang terhubung satu sama lain, dan terhubung pula dengan kedua daratan utama. Kedua pulau terhubung oleh satu jembatan. Salah satu pulau terhubung dengan salah satu daratan utama dengan dua jembatan dan dengan daratan utama lainnya oleh dua jembatan, sedangkan pulau yang lain terhubung dengan tiap-tiap daratan utama oleh satu jembatan.

Sumber : http://www.daviddarling.info

Lalu, pertanyaannya adalah..

Bagaimana cara melalui semua ketujuh jembatan tanpa melewati salah satunya untuk kedua kalinya?

Silahkan dicoba…

Bagaimana? Sudah menemukan salah satu caranya? Atau mau menyerah saja? Baiklah, akan kuberi jawabannya.

Tidak ada. Ya, tak ada satu cara pun.

Tapi, kenapa? Di sinilah peran sang matematikawan terkemuka, Leonhard Euler.

Misalkan pulau-pulau dan daratan utama dinyatakan sebagai titik yang disebut simpul (vertex), dan jembatan yang menghubungkan dua dari empat pulau dan daratan utama dinyatakan sebagai garis yang disebut sisi (edge). Dari pemisalan kita, kita dapatkan keadaan Königsberg seperti gambar berikut.

Sumber : https://physics.weber.edu/

Euler meninjau bahwa jika kita memasuki sebuah simpul melalui sebuah sisi, kita juga meninggalkan simpul tersebut melalui sebuah sisi (kecuali di akhir perjalanan kita). Dari hal itu, jumlah sisi yang menyentuh simpul haruslah genap (kecuali simpul pertama dan simpul terakhir). Kenapa harus genap? Karena dari pernyataan sebelumnya, kita dapat menyimpulkan bahwa kita memasuki sebuah simpul dengan jumlah yang sama dengan jumlah kita meninggalkan sebuah simpul (dengan pengecualian yang sama dengan kalimat kedua pada paragraf ini).

Seperti yang kita ketahui, semua simpul dilalui oleh sisi – sisi yang berjumlah ganjil (kedua daratan utama dilalui oleh tiga jembatan, pulau pertama dilalui oleh lima jembatan, dan pulau yang lain dilalui oleh tiga jembatan). Maka, tidak ada jawaban dalam pertanyaan yang krusial ini.

Berkat teka-teki sulit ini, muncullah cabang ilmu matematika baru, Teori Graf. Ada pertanyaan serupa (dengan jawaban serupa pula) dengan kasus ini. Jika penasaran, buka link berikut ini 

Five Rooms Puzzle 

Terima kasih telah membaca, maaf jika ada salah kata, Salam DG~!
Hampir lupa, Selamat Liburan~!

Identitas Brahmagupta

Halo, DG kembali lagi setelah berhari-hari mencari ide untuk post berikutnya. Dari beberapa pilihan seperti Fungsi MobiusIdentitas Sophie GermainTeorema EulerTeorema Fermat Kecil, bahkan Fungsi Zeta Riemann, akhirnya terpilihlah sebuah identitas penting, khususnya buat kamu yang mau ikut olimpiade matematika. Yap, Identitas Brahmagupta. Mungkin kamu tau Rumus Brahmagupta ini

L = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}

Ya, ini Rumus Brahmagupta untuk mencari luas segiempat tali busur. Tapi bukan ini yang akan kita bicarakan. Yang akan kita bicarakan adalah Identitas Brahmagupta. Langsung saja kita sambut, ini dia… Identitas Brahmagupta….

\begin{aligned} \bold{(a^2+nb^2)(c^2+nd^2)}&=\bold{(ac+nbd)^2+n(ad-bc)^2}\\&=\bold{(ac-nbd)^2+n(ad+bc)^2} \end{aligned}

Jika n=1 , maka identitas tersebut menjadi Identitas Fibonacci, yaitu

\begin{aligned} \bold{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}&=\bold{(ac+bd)^2+(ad-bc)^2}\\&=\bold{(ac-bd)^2+(ad+bc)^2}\end{aligned}

Bukti :

\begin{aligned} \bold{(a^2+nb^2)(c^2+nd^2)}&=a^2c^2+n^2b^2d^2+na^2d^2+nb^2c^2\\&=a^2c^2+2nabcd+n^2b^2d^2+na^2d^2 - 2nabcd + nb^2c^2\\&=\bold{(ac+nbd)^2+n(ad-bc)^2}\end{aligned}

Nah sekarang, coba kamu buktiin (a^2+nb^2)(c^2+nd^2) = (ac-nbd)^2+n(ad+bc)^2

Salam DG~!

Cara Menggandakan Peluang

Misalkan ada sebuah permainan dimana kita harus mengambil sebuah kartu sekop dari 52 kartu bridge untuk memenangkan permainan. Berapa kemungkinannya? Sudah pasti jawabannya

P=\frac{13}{52}=\frac14

Hanya 25%? Mungkin kalian tidak akan berpikir akan menang di permainan pertama. Tapi bagaimana jika kalian menambah kemungkinannya? Memangnya bisa?

Secara matematis, bisa. Hal ini biasa dikenal sebagai Paradox Simpson. Caranya bagaimana?

1. Sediakan lebih dari 1 wadah yang identik
Semakin banyak, semakin besar peluang yang didapat.

2. Letakan kartu yang ingin kamu ambil secara merata
Misalkan ada 4 wadah, kita ingin mengambil salah satu dari 13 kartu sekop. Maka, letakan 3 kartu sekop di 3 wadah berbeda dan 4 kartu sekop di salah satu wadah. Intinya harus merata.

3. Letakan kartu yang tidak ingin kamu ambil dengan memfokuskan pada 1 wadah saja
Kita tidak ingin mengambil 39 kartu bukan sekop, ‘kan? Maka kita letakkan 39 kartu itu ke wadah yang berisi 4 kartu sekop.

4. Mintalah orang lain untuk mengacak posisi wadah, pilih salah satu wadah dengan mata tertutup dan pilih satu kartu dengan mata tertutup juga
Ini adalah bentuk sportivitas dalam permainan

Di sini, kita punya 4 wadah, yaitu :

Wadah 1, berisi 3 kartu sekop
Wadah 2, berisi 3 kartu sekop
Wadah 3, berisi 3 kartu sekop
Wadah 4, berisi 4 kartu sekop dan 39 kartu bukan sekop.

Mari kita hitung peluang mengambil kartu sekop dari setiap wadah

Wadah 1 : 1
Wadah 2 : 1
Wadah 3 : 1
Wadah 4 : \frac4{39}

Maka peluang mengambil kartu sekop adalah

\frac14 \times 1 + \frac14 \times 1 + \frac14 \times 1 + \frac14 \times \frac4{39} = \frac{121}{156} > \frac12

Artinya peluangnya sekitar 77,6%…
Peluang yang cukup besar…
Tapi ini bukan peluang maksimal, karena jika kita membuat keadaannya menjadi

Wadah 1 : 1 kartu sekop
Wadah 2 : 1 kartu sekop
Wadah 3 : 1 kartu sekop
Wadah 4 : 10 kartu sekop dan 39 kartu bukan sekop

Maka peluangnya menjadi \frac{127}{156} atau sekitar 81,4%

Apakah masih ada peluang yang lebih besar? Kalau kamu mendapatkan peluang yang lebih besar, tulis keadaannya dan peluangnya dalam bentuk pecahan dan persen, dengan syarat wadahnya tetap 4.

Sekian, terima kasih.
Salam DG~

 

Note : *Dengan peluang yang besar, bukan berarti kita bisa menang di setiap permainan. Ini hanya menambah kemungkinan saja

Canopus, Si Bintang Nomor Dua

Adakah diantara kalian ada yang berambisi menjadi nomor satu, tapi tak pernah menjadi yg terbaik, padahal sudah berusaha sekuat apapun? Aku harap post ini membantu dan kalian bisa mengambil manfaat dari sini.

Kisah ini di ambil dari suatu keajaiban yang kulihat di jalan menuju musholla. Di jalan itu, tidak ada bintang yang terlihat. Bahkan bintang paling terang di malam hari, Sirius, tak tampak sekali pun. Awan dimana-mana. Tidak ada bintang yang terlihat di jalan menuju musholla itu.

Di jalan pulang, aku melihat sebuah setitik cahaya terang di langit. Dari posisinya yang agak ke arah selatan, aku bisa menyimpulkannya bahwa itu bukan Sirius, Menkalinan melainkan Canopus, bintang paling terang kedua di malam hari. Dari sini aku bisa menyimpulkan bahwa kita tidak perlu menjadi yang paling terang seperti Sirius, atau yang paling besar seperti VY Canis Majoris. Kita hanya perlu menghiasi langit bagi orang-orang banyak. Lebih baik lagi kita membantu orang lain menjadi bintang, karena orang-orang suka malam yang penuh bintang.

Mungkin hanya itu dariku kali ini. Semoga bermanfaat. Terima kasih~

Salam DG~

—————————————–
Mungkin kalian lihat ada nama Menkalinan. Ada yang tahu apa itu Menkalinan?